Солитон. Вперед в прошлое к первоистокам.

Soliton. Forward to the Past, to the Origin.

В далеком 1834 году компания Unic Canal Company решила заняться навигацией паровых судов по каналу, соединяющему Эдинбург и Глазго, а Джону Скотту Расселлу предложили исследовать возможности осуществления этого предприятия. Там в августе 1834 г. и состоялось его первое знакомство с уединенной волной (SolitaryWave), о котором он впервые доложил в 1838г. Подробное описание этого наблюдения и выполненных им экспериментов было опубликовано в 1844 г. ("Доклад о волнах").

В то время для перевозок по каналу использовали небольшие баржи, которые тащили лошади. Для того чтобы выяснить, как нужно строить эти баржи при переходе от лошадиной тяги к паровой, Расселл проводил эксперименты с баржами различной формы, движущимися с разными скоростями. В ходе этих опытов он обнаружил явление, которое описал в "Докладе о волнах":

"Я следил за движением баржи, которую быстро тянула по узкому  каналу  пара  лошадей, когда баржа неожиданно остановилась; но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась. Вместо этого она собралась около носа судна в состоянии бешеного движения, затем неожиданно оставила его позади, катясь вперед с огромной скоростью и  принимая  форму  большого одиночного  возвышения, т. е. округлого, гладкого и четко выраженного водяного холма, который продолжал свой путь вдоль канала, нисколько не меняя своей формы и не снижая скорости. Я последовал ним верхом, и когда я нагнал его, он по-прежнему катился вперед со скоростью приблизительно восемь или девять миль в час, сохранив свой первоначальный профиль возвышенна длиной около тридцати футов и высотой  от фута до фута с половиной.  Его  высота  постепенно  уменьшалась,  и  после одной  или двух миль погони я потерял его в изгибах канала. Так  в августе 1834 г. мне  впервые  довелось  столкнуться с необычайным и красивым явлением, которое я назвал волной трансляции; теперь это название общепринято.

С тех пор я обнаружил, что такие волны играют важную роль почти во всех случаях, когда жидкость оказывает сопро­тивление движению, и пришел к убеждению, что к тому же типу относятся огромные движущиеся повышения уровня моря, которые с регулярностью обращения небесного тела входят в наши реки и катятся вдоль наших побережий. Для  подробного  изучения этого явления с целью точно установить его природу и  управляющие им законы я придумал другие, более удобные способы его вызвать... и применил разнообразные методы наблюдений".

Расселл ввел довольно тонкую классификацию волн, различая "обособленные" (уединенные) и  "стадные" (групповые) типы и подразделяя их на четыре рода. К стадным он отнес обычные ветровые волны, группы волн, которые мы  теперь называем  волновыми  пакетами, а также капиллярные волны. Он отличал обособленные волны разного рода, выделил наиболее интересовавшую его уединенную волну в первый и назвал ее "большой" или  "первичной" волной трансляции.

Тогда в Англии этой  работой  заинтересовались Эри и Стокс. К сожалению, Гамильтон, который много знал о волнах и, в частности, первым понял, что скорость движения небольшого пакета волн (групповая скорость) может отличаться от скорости распространения самой волны, не проявил интереса к новым наблюдениям.

Королевский астроном Джордж Биддел Эри (1801 — 1892) – заметная фигура в английской науке и в обществе придирчиво изучил доклад Расселла и в своей работе "Приливы и волны", опубликованной в 1845 г., подверг критике его выводы об уединенной волне. Эта работа сыграла двойственную роль в судьбе уединенной волны трансляции SolitaryWave. С одной стороны, в ней был правильно поставлен вопрос о ее матема­тическом описании с помощью лагранжевой теории "мелкой воды", а не "мелкой волны". С другой сто­роны, чересчур категорическое отрицание правильности наблю­дений и выводов Расселла таким известным специалистом, как Эри, не способ­ствовало увеличению интереса к этому явлению, а кто же хочет заниматься неинтересными проблемами!

Джордж Габриель Стокс (1819-1903) в своей работе "О колебательных волнах" (1847 г.) подошел к наблюдениям Расселла с большéй осторожностью чем Эри, но его заключение гласит, что волны не могут сохранять постоянную форму даже в случае пренебрежимо малой вязкости. Иными словами, SolitaryWave должна была бы распадаться и в том случае, если бы не теряла энергию на трение.

После такой уничтожающей критики об уединенной волне трансляции надолго забыли все, кроме самого Расселла. А что можно было ожидать? Только это, ибо все, что не укладывалось в "прокрустово" ложе классической науки и в те времена, и в наше время, так называемая, классическая наука отбрасывала и поныне отбрасывает. Так было и есть, легче и проще. Но не забыл, к счастью для науки, об этом чудесном явлении сам Расселл. Мысли его постоянно возвращаются к ней: "Это самое прекрасное и необычайное явление; день, когда я впервые увидел его, был лучшим днем моей жизни. Никому  никогда  не посчастливилось наблюдать раньше или, во всяком случае, понять, что оно значит. Теперь оно известно как уединенная волна трансляции. Никто прежде и вообразить не мог, что уединенная волна возможна. Когда я описал ее сэру Джону Гершелю, он сказал: "Это просто вырезанная половина обычной волны". Но это не так, поскольку обычные волны идут отчасти выше, а отчасти ниже поверхности воды; кроме того, ее форма совсем иная. Это не половина волны, а, несомненно, вся волна целиком, с тем отличием, что волна как целое не находится попеременно то ниже, то выше поверхности, а всегда выше ее. Этого вполне достаточно, чтобы такой холм воды не стоял на месте, a двигался".

Итоги размышлений Расселла об уединенной волне были опубликованы в вышедшей уже после его смерти книге "Волны трансляции в океанах воды, воздуха и эфира", которая также осталась незамеченной.

Расселл установил следующие основные свойства уеди­ненных волн:

1. Постоянство скорости и неизменность формы отдельной уединенной волны.

2. Зависимость скоросjavascript:void(0)ти  v  от глубины канала h и высоты волны у₀: v=√g(y₀ + h), где g – ускорение свободного падения; при этом у0 < h.

3. Распад достаточно большой волны на две или более уединенные волны: "Волна примет... свою обычную форму... и будет идти вперед, сохраняя объем и высоту; она освободится от лишнего вещества, которое двигалось с ней, оставит его позади, и эта оставшаяся волна будет следовать за ней, но с меньшей ско­ростью, так что, хотя сначала две волны были соединены в одну составную, они затем отделяются друг друга и все больше и больше расходятся по мере продвижения" (см. рис. 1 – рисунок Расселла).

Рис. 1

4. Наблюдаю­тся только вол­ны повышения.  Расселл  также од­нажды  отме­тил, что "большие первичные волны трансляции проходят друг через друга без каких-либо изменений, таким же образом, как и малые коле­бания, производимые  упавшим на поверхность воды камнем".

В дальнейшем Расселл не возвращался к этому явлению, которое так поразило ученых, вновь открывших его 130 лет спустя при совсем иных обстоятельствах.

Наибольшую ясность в эту проблему внесли голландские ученые Дидерик Иоханес Кортевег (1848-1941) и его  ученик Густав де Фриз, которые в 1895 году нашли уравнение, наиболее точно описывающее основные эффекты, наблюдавшиеся Расселлом. Уравнение Кортевега – де Фриза (КдФ-уравнение) сыграло большую роль во втором рождении уединенной волны переноса. Это уравнение распространения волн в одном направлении по поверхности мелкого канала. Если канал имеет среднюю глубину l и l+η (η мало) – уровень  поверхности над дном, то дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее дви­жение волны, будет таким:

(1)

где σ = l/3 - Tl/ρg, – произвольная константа, Т– поверхностное натяжение и ρ — плотность жидкости.

КдФ-уравнение может быть приведено к более удобной форме изменением масштабов по осям.

Если ввести обозначения

то (1) приобретает вид:

(2)

Множитель 12 в  нелинейном  члене  уравнения  целиком зависит от нашего произвола и всегда может быть изменен преобразова­нием u → βu . Чтобы найти решение, подобное волне Расселла, нужно искать решение уравнения (2) типа бегущей волны с постоянным профилем. Для этого были рассмотрены трансляционно-инвариантные решения вида u = u (θ), где θ – линейная функ­ция от ξ и τ: θ = аξ - ωτ + δ. Если потребовать, чтобы функ­ция u стремилась  к  нулю вместе с ее производными при |θ| → ∞, то уравнение (3) можно  будет проинтегрировать и получить решение:

(3)

Константы α и δ - произвольные, причем последняя играет рольРис. 2
фазы, или "сдвига центра". Это и есть волна в виде горба, которую наблюдал Скотт Расселл. Она дви­жется с постоянной скоростью, не меняя формы. Ее скорость, равная 1 + a2, зависит от амплитуды, и высокая волна движется быстрее, чем низ­кая. График этой зависимости дан на рис.2, на котором три уединенные волны  изображены рядом. Для малых значений  а волна широкая и низкая, но при увеличении  а она становится уже и острее. Именно такой профиль волны наблюдал Скотт Расселл  в своих экспериментах, и, значит, это и есть уединенная волна  трансляции SolitaryWave.

Рис. 3

На рис. 3а изображен отгороженный перегородкой участок лабораторного канала, где поверхность жид­кости приподнята. Когда пе­регородка внезапно сдвигается, возникает двигающееся вдоль канала длинное колоколообразное возвышение – поверхностный акваквант с накопленной в дополнительном объеме жидкости избыточным уровнем энергии.

На рис.3б показан идентичный эксперимент, только объем воды в этом случае больше – возникает два аквакванта.

В экспериментах было замечено, что передача аквакванта не приводит к появлению ряби, в которой он рассеялся бы по всей поверхности. Вместо этого акваквант локализуется в ус­­тойчиво рас­пространяю­щем­ся солитоне, ко­торый перемещается по жидкости, оставляя ее за собой в том же состоянии, в котором она находилась до прохождения солитона. В идеализированной ситуации можно было бы поймать акваквант в тот момент, когда он достигнет конца канала, пододвинув туда другую перегородку в нужный момент. При этом будет уловлено как раз такое количество воды, которое было выпущено в начальный момент, что и указывает на локализованность аквакванта в процессе переноса.

Планировалось провести эксперимент со встроенным в торец лотка заполненного контрастным веществом имитатора "сжатой области", от которого "отрывался" бы подводный акваквант.